Industrialnet Головна Про сайт webcache.site checkip.site takescreenshot.site
  • Строрінки

  • Зворотна матриця. Рішення матричних рівнянь

    Основи лінійної алгебри

  • N-вимірні матриці. Множення і додавання N-вимірних матриць
  • Рішення систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса
  • N-мірні вектори, їх характеристика і приклади множення
  • Система лінійних рівнянь та її види. Матрична форма запису системи лінійних рівнянь
  • Лінійна залежність векторів. Базис системи векторів
  • Зворотна матриця. Рішення матричних рівнянь. Алгоритм знаходження оберненої матриці
  • Визначник матриці. Метод Крамера
  • Лекції з Вищої математики
  • Симплексний метод розв'язання задач лінійного програмування
  • Ймовірність події
  • Транспортна задача. Опорне рішення [2 ч.]
  • Зміст
  • Обернена матриця
  • Алгоритм знаходження оберненої матриці
  • Рішення матричних рівнянь
  • Матричний метод в економічному аналізі
  • Обернена матриця

    Нехай є квадратна матриця n-го порядку

    Матриця А-1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці А, якщо А*А-1 = Е, де Е — одинична матриця n-го порядку.

    Одинична матриця — така квадратна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі проходить від верхнього лівого кута до правого нижнього кута, — одиниці, а решта — нулі, наприклад:

    Зворотна матриця може існувати тільки для квадратних матриць тобто для тих матриць, у яких кількість рядків і стовпців збігаються.

    Теорема умови існування оберненої матриці

    Для того щоб матриця мала обернену матрицю необхідно і достатньо, щоб вона була невырожденной.

    Матриця А = (А1, А2,..., Аn) називається невырожденной, якщо вектори-стовпці є лінійно незалежними. Число лінійно незалежних векторів-стовпців матриці називається рангом матриці . Тому можна сказати, що для того, щоб існувала обернена матриця, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював її розмірності, тобто r = n.

    Алгоритм знаходження оберненої матриці
  • Записати в таблицю для розв'язування систем рівнянь методом Гауса матрицю А і праворуч (на місце правих частин рівнянь) приписати до неї матрицю Е.
  • Використовуючи перетворення Жордана, привести матрицю А до матриці, що складається з одиничних стовпців; при цьому необхідно одночасно перетворити матрицю Е.
  • Якщо необхідно, то переставити рядки (рівняння) останньої таблиці так, щоб під матрицею А вихідної таблиці вийшла одинична матриця Е.
  • Записати зворотну матрицю А-1, яка знаходиться в останній таблиці під матрицею Е вихідної таблиці.
  • Приклад 1

    Для матриці А знайти обернену матрицю А-1

    Рішення: Записуємо матрицю А й праворуч приписуємо одиничну матрицю Е. Використовуючи перетворення Жордана, наводимо матрицю А до одиничної матриці Е. Обчислення наведені в таблиці 31.1.

    Перевіримо правильність обчислень множенням вихідної матриці А і матриці А-1.

    В результаті множення матриць вийшла одинична матриця. Отже, обчислення зроблені правильно.

    Відповідь:

    Рішення матричних рівнянь

    Матричні рівняння можуть мати вигляд:

    АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

    де А,В,С — матриці задаються, Х - шукана матриця.

    Матричні рівняння вирішуються за допомогою множення рівняння на зворотні матриці.

    Наприклад, щоб знайти матрицю з рівняння , необхідно помножити це рівняння на зліва.

    Тоді:

    Отже, щоб знайти розв'язок рівняння , потрібно знайти обернену матрицю і помножити її на матрицю , що стоять у правій частині рівняння.

    Аналогічно вирішуються інші рівняння.

    Приклад 2

    Вирішити рівняння АХ = В, якщо

    Рішення: Так як зворотна матриця дорівнює (див. приклад 1)

    Матричний метод в економічному аналізі

    Поряд з іншими економіко-математичними методами в аналізі господарської діяльності знаходять застосування також матричні методи. Ці методи базуються на лінійній і векторно-матричної алгебри. Такі методи застосовуються для цілей аналізу складних і багатовимірних економічних явищ. Найчастіше ці методи використовуються при необхідності порівняльної оцінки функціонування організацій та їх структурних підрозділів.

    У процесі застосування матричних методів аналізу можна виділити кілька етапів.

    На першому етапі здійснюється формування системи економічних показників і на її основі складається матриця вихідних даних , яка являє собою таблицю, в якій по її окремих рядках показуються номери систем (i = 1,2,....,n), а по вертикальних графах — номери показників (j = 1,2,....,m).

    На другому етапі по кожній вертикальній графі виявляється найбільша з наявних значень показників, яке приймається за одиницю.

    Після цього всі суми, відображені у цій графі ділять на найбільше значення і формується матриця стандартизованих коефіцієнтів .

    На третьому етапі всі складові частини матриці зводять у квадрат. Якщо вони мають різну значущість, то кожному показнику матриці присвоюється певний ваговий коефіцієнт k. Величина останнього визначається експертним шляхом.

    Потім визначається рейтингова оцінка по кожній з аналізованих систем за наступною формулою:

    На останньому, четвертому етапі знайдені величини рейтингових оцінок Rj групуються в порядку їх збільшення або зменшення.

    Викладені матричні методи слід використовувати, наприклад, при порівняльному аналізі різних інвестиційних проектів, а також при оцінці інших економічних показників діяльності організацій.

    Copyright © industrialnet.com.ua. 2016 • All rights reserved.