Industrialnet Головна Про сайт webcache.site checkip.site takescreenshot.site
  • Строрінки

  • Ймовірність події

    Теорія ймовірностей

  • Ймовірність події. Класичне та статистичне визначення ймовірності випадкової події
  • Теореми додавання та множення ймовірностей
  • Формула повної ймовірності
  • Формула Байєса і приклад розв'язання
  • Формула Бернуллі
  • Формула Пуассона та його теорія
  • Лекції з Вищої математики
  • Симплексний метод розв'язання задач лінійного програмування
  • Ймовірність події
  • Транспортна задача. Опорне рішення [2 ч.]
  • Зміст
  • Випадкові події
  • Алгебра подій
  • Класичне та статистичне визначення ймовірності події
  • Випадкові події

    В економіці, так само як і в інших областях людської діяльності або в природі, постійно доводиться мати справу з подіями, які неможливо точно передбачити. Так, обсяг продажів товару залежить від попиту, який може суттєво змінюватися, і від ряду інших факторів, врахувати які практично нереально. Тому при організації виробництва і здійсненні продажів доводиться прогнозувати результат такої діяльності на основі або власного попереднього досвіду, або аналогічного досвіду інших людей, або інтуїції, яка в значній мірі теж спирається на досвідчені дані.

    Щоб якимось чином оцінити цю подію, необхідно враховувати або спеціально організовувати умови, в яких фіксується ця подія.

    Здійснення певних умов або дій для виявлення розглянутого події носить назву досліду або експерименту.

    Подія називається випадковою, якщо в результаті досвіду воно може відбутися або не відбутися.

    Подія називається достовірним, якщо воно обов'язково з'являється в результаті цього досвіду, і неможливим, якщо воно не може з'явитися в цьому досвіді.

    Наприклад, випадання снігу в Москві 30 листопада є випадковою подією. Щоденний схід Сонця можна вважати достовірною подією. Випадання снігу на екваторі можна розглядати як неможливе подія.

    Однією з головних задач в теорії ймовірностей є завдання визначення кількісної міри можливості появи події.

    Алгебра подій

    Події називаються несовместными, якщо вони разом не можуть спостерігатися в одному і тому ж досвіді. Так, наявність двох і трьох автомашин в одному магазині для продажу в один і той же час — це два несумісні події.

    Сумою подій називається подія, що полягає в появі хоча б однієї з цих подій

    В якості прикладу суми подій можна назвати наявність в магазині хоча б одного з двох товарів.

    Добутком подій називається подія, що складається в одночасній появі всіх цих подій

    Подія, що полягає в появі одночасно в магазині двох товарів є добутком подій: -поява одного товару, — поява іншого товару.

    Події утворюють повну групу подій, якщо хоча б один з них обов'язково відбудеться в досвіді.

    Приклад. У порту є два причали для прийому суден. Можна розглянути три події: — відсутність суден біля причалів, — присутність одного судна біля одного з причалів, — присутність двох суден у двох причалів. Ці три події утворюють повну групу подій.

    Протилежними називаються два єдино можливі події, що утворюють повну групу.

    Якщо одна з подій, які є протилежними, позначити через , то протилежне подія зазвичай позначають через .

    Класичне та статистичне визначення ймовірності події

    Кожен з равновозможних результатів випробувань (дослідів) називається елементарним наслідком. Їх зазвичай позначають буквами . Наприклад, кидається гральна кістка. Елементарних результатів може бути шість за числом очок на гранях.

    З елементарних результатів можна скласти більш складне подія. Так, подія випадання парного числа очок визначається трьома наслідками: 2, 4, 6.

    Кількісною мірою можливості появи розглянутого події є ймовірність.

    Найбільш широке поширення одержали два визначення ймовірності події: класичне та статистичне.

    Класичне визначення ймовірності пов'язане з поняттям сприятливого результату.

    Результат називається сприятливим даній події, якщо його поява тягне за собою настання цієї події.

    У наведеному прикладі розглядається подія — парне число очок на випала межі, має три сприяють результату. В даному випадку відомо і загальна
    кількість можливих результатів. Отже, тут можна використовувати класичне визначення ймовірності події.

    Класичне визначення. Ймовірність події дорівнює відношенню числа сприятливих результатів до загального числа можливих результатів

    (1.1)

    де — ймовірність події , — число сприятливих події результатів, — загальне число можливих результатів.

    У розглянутому прикладі

    Статистичне визначення ймовірності пов'язане з поняттям відносної частоти появи події в дослідах.

    Відносна частота появи події обчислюється за формулою

    (1.2)

    де - число появи події в серії дослідів (випробувань).

    Статистичне визначення. Ймовірністю події називається число, щодо якого стабілізується (встановлюється) відносна частота при необмеженому збільшенні числа дослідів.

    У практичних задачах за ймовірність події приймається відносна частота при достатньо великому числі випробувань.

    З даних визначень ймовірності події видно, що завжди виконується нерівність

    Для визначення ймовірності події на основі формули (1.1) часто використовуються формули комбінаторики, за яким знаходиться число сприятливих результатів і загальне число можливих результатів.

    Приклад. Відомо, що надійшла партії з 30 швейних машинок 10 мають внутрішній дефект. Визначити ймовірність того, що з партії в 5 навмання взятих машинок 3 виявляться бездефектными.

    Рішення. Для вирішення даної задачі введемо позначення. Нехай — загальна кількість машинок, — число бездефектних машинок, — число відібраних у партію машинок, — число бездефектних машинок в відібраної партії.

    Загальне число комбінацій по машинок, тобто загальне число можливих результатів буде дорівнює числу сполучень з елементів , т. е. . Але в кожної відібраної комбінації повинно міститися по три бездефектні машинки. Число таких комбінацій дорівнює числу сполучень з елементів , т. е. .

    З кожною такою комбінацією в відібраної партії залишилися дефектні елементи теж утворюють безліч комбінацій, число яких дорівнює числу сполучень з елементів , т. е. .

    Це означає, що загальне число сприятливих результатів визначається добутком . Звідки отримуємо

    Підставимо в цю формулу чисельні значення даного прикладу

    Copyright © industrialnet.com.ua. 2016 • All rights reserved.