Industrialnet Головна Про сайт webcache.site checkip.site takescreenshot.site
  • Строрінки

  • Теореми додавання та множення ймовірностей

    Теорія ймовірностей

  • Ймовірність події. Класичне та статистичне визначення ймовірності випадкової події
  • Теореми додавання та множення ймовірностей
  • Формула повної ймовірності
  • Формула Байєса і приклад розв'язання
  • Формула Бернуллі
  • Формула Пуассона та його теорія
  • Лекції з Вищої математики
  • Симплексний метод розв'язання задач лінійного програмування
  • Ймовірність події
  • Зміст
  • Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
  • Умовна ймовірність
  • Теорема множення ймовірностей
  • Теорема додавання ймовірностей сумісних подій
  • Теорема додавання ймовірностей несумісних подій

    Теорема. Ймовірність суми кінцевого числа несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

    (2.1)

    Доказ. Доведемо цю теорему для випадку суми двох несумісних подій та .

    Нехай події сприяють елементарних результатів, а події результатів. Так як події та за умовою теореми несумісні, то події сприяють елементарних випадків із загального числа n результатів. Отже,

    ,

    де — ймовірність події ; — ймовірність події .

    Приклад. Для відправки вантажу зі складу може бути виділена одна з двох машин різного виду. Відомі ймовірності виділення кожної машини: . Тоді ймовірність надходження до складу хоча б однієї з цих машин буде

    P(А1+А2) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

    Умовна ймовірність

    У багатьох випадках ймовірності появи одних подій залежать від того, сталося чи ні інша подія. Наприклад, ймовірність своєчасного випуску машини залежить від постачання комплектуючих виробів. Якщо ці вироби вже поставлені, то шукана ймовірність буде одна. Якщо ж вона визначається до поставки комплектуючих, то її значення, очевидно, буде іншим.

    Ймовірність події , обчислена за умови, що мало місце іншу подію , називається умовною ймовірністю події і позначається .

    У тих випадках, коли ймовірність події розглядається за умови, що сталося два інших події , використовується умовна ймовірність щодо твору подій

    .

    Теорема множення ймовірностей

    Теорема. Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену за умови, що перше мало місце

    P(AB) = P(A)?P(B/A) = P(B)?P(A/B). (2.2)

    Доказ. Припустимо, що з можливих елементарних наслідків події сприяють випадків, з яких результатів сприяють події . Тоді ймовірність події буде , умовна ймовірність події щодо події буде .

    Добутку подій і сприяють тільки ті результати, які сприяють події і події одночасно, тобто результатів. Тому ймовірність добутку подій і дорівнює

    .

    Помножимо чисельник і знаменник цього дробу на . Отримаємо

    .

    Аналогічно доводиться і формула

    .

    Приклад. На склад надійшло 35 холодильників. Відомо, що 5 холодильників з дефектами, але невідомо, які це холодильники. Знайти ймовірність того, що два взятих навмання холодильника будуть з дефектами.

    Рішення. Ймовірність того, що перший обраний холодильник буде з дефектом, знаходиться як відношення числа сприятливих результатів до загального числа можливих результатів

    P(A) = 5/35 = 1/7.

    Але після того, як був узятий перший холодильник з дефектом, умовна ймовірність того, що і другий буде з дефектом, визначається на основі співвідношення

    Шукана ймовірність буде

    .

    Якщо при настанні події ймовірність події не змінюється, то події і називаються незалежними.

    У випадку незалежних подій ймовірність їх добутку дорівнює добутку ймовірностей цих подій

    P(AB) = P(A)?P(B). (2.3)

    Теорема множення ймовірностей легко узагальнюється на будь-яке кінцеве число подій.

    Теорема. Ймовірність твори кінцевого числа подій дорівнює добутку їх умовних ймовірностей щодо твору попередніх подій, тобто

    P(ABC....LM) = P(A)?P(B/A)?P(C/AB) P(M/AB...L). (2.4)

    Для доказу цієї теореми можна використовувати метод математичної індукції.

    Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

    Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої в одному і тому ж досвіді.

    Приклад. Надходження в магазин одного виду товару — подія . Надходження другого виду товару — подія . Вчинити ці товари можуть і одночасно. Тому і - спільні події.

    Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи

    P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB). (2.5)

    Доказ. Подія настане, якщо настане одна з трьох несумісних подій ,, . За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

    (2.6)

    Подія відбудеться, якщо настане одна з двох несумісних подій: , . Знову застосовуючи теорему додавання ймовірностей несумісних подій, отримуємо . Звідки

    (2.7)

    Аналогічно для події Звідки

    .(2.8)

    Підставивши (2.7) і (2.8) в (2.6), знаходимо

    P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB).

    Приклад. Якщо ймовірність надходження в магазин одного виду товару дорівнює P(A) = 0,4, а другого товару — P(B) = 0,5, і якщо допустити, що ці події незалежні, але спільно, то ймовірність суми подій дорівнює

    P(A+B) = 0,4 + 0,5 — 0,4?0,5 = 0,7.

    Copyright © industrialnet.com.ua. 2016 • All rights reserved.