Industrialnet Головна Про сайт webcache.site checkip.site takescreenshot.site
  • Строрінки

  • Рішення систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса

    Основи лінійної алгебри

  • N-вимірні матриці. Множення і додавання N-вимірних матриць
  • Рішення систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса
  • N-мірні вектори, їх характеристика і приклади множення
  • Система лінійних рівнянь та її види. Матрична форма запису системи лінійних рівнянь
  • Лінійна залежність векторів. Базис системи векторів
  • Зворотна матриця. Рішення матричних рівнянь. Алгоритм знаходження оберненої матриці
  • Визначник матриці. Метод Крамера
  • Лекції з Вищої математики
  • Симплексний метод розв'язання задач лінійного програмування
  • Зміст
  • Дозволена система рівнянь
  • Загальна характеристика дозволеної системи рівнянь
  • Загальна Приватне Базисне рішення
  • Елементарні перетворення лінійних рівнянь
  • Формули перерахунку коефіцієнтів системи
  • Алгоритм методу Жордана-Гауса
  • Дозволена система рівнянь У загальному випадку лінійне рівняння має вигляд:

    Рівняння має рішення: якщо хоча б один з коефіцієнтів при невідомих відмінний від нуля. У цьому випадку будь -мірний вектор називається рішенням рівняння, якщо при підстановці його координат рівняння звертається в тотожність.

    Загальна характеристика дозволеної системи рівнянь Приклад 20.1

    Дати характеристику системі рівнянь.

    Рішення:

    1. Входить до складу системи лінійних рівнянь суперечливе рівняння? (Якщо коефіцієнти , в цьому випадку рівняння має вигляд: і називається суперечливим.)

  • Якщо система містить суперечливе, то така система несовместна і не має рішення
  • 2. Знайти усі дозволені змінні. (Невідома називається дозволеної для системи рівнянь, якщо вона входить в одне з рівнянь системи з коефіцієнтом +1, а в інші рівняння не входить (тобто входить з коефіцієнтом, рівним нулю).

  • У нашому прикладі невідома входить у перше рівняння з коефіцієнтом одиниця, у друге рівняння не входить, тобто є першою дозволеної.
  • Аналогічно — міститься тільки у другому рівнянні а тільки в першому.
  • 3. Чи є система рівнянь дозволеної? (Система рівнянь називається дозволеною, якщо кожне рівняння системи містить дозволену невідому, серед яких немає співпадаючих)

  • Наша система є дозволеною оскільки кожне рівняння містить у собі дозволені невідомі )
  • Дозволені невідомі, взятих по одному з кожного рівняння системи, утворюють повний набір дозволених невідомих системи. (у нашому прикладі це )

    Дозволені невідомі, що входять в повний набір, називають базисними (), а не вхідні в набір — вільними ().

    У загальному випадку дозволена система рівнянь має вигляд:

    !На даному етапі головне зрозуміти що таке дозволена невідома (входить в базис і вільна).

    Загальна Приватне Базисне рішення

    Спільним рішенням дозволеної системи рівнянь називається сукупність виразів дозволених невідомі через вільні члени і вільні невідомі:

    Приватним рішенням системи рівнянь називається рішення, що виходять з загального при конкретних значеннях вільних змінних і невідомих.

    Базисним рішенням називається приватне рішення, получающееся з загального при нульових значеннях вільних змінних.

  • Базисне рішення (вектор) називається виродженим, якщо кількість його координат, відмінних від нуля, менше числа дозволених невідомих.
  • Базисне рішення називається невырожденным, якщо кількість його координат, відмінних від нуля, дорівнює кількості дозволених невідомих системи, що входять в повний набір.
  • Теорема (1)

    Дозволена система рівнянь завжди совместна (тому що вона має хоча б одне рішення); причому якщо система не має вільних невідомих, (тобто в системі рівнянь всі дозволені входять в базис) то вона визначена (має єдине рішення); якщо ж є хоча б одна вільна змінна, то система не визначена (має нескінченну безліч рішень).

    Приклад 1. Знайти загальне, базисне і будь-яке приватне рішення системи рівнянь:

    Рішення:

    1. Перевіряємо чи є система дозволеної?

  • Система є дозволеною (оскільки кожне з рівнянь містить у собі дозволену невідому)
  • 2. Включаємо в набір дозволені невідомі — по одному з кожного рівняння.

  • В нашому випадку ми можемо включити в набір дозволених невідомих з першого рівняння — і , а з другого рівняння тільки . Тобто набір може складатися з () або ().
  • 3. Записуємо загальне рішення в залежності від того, які дозволені невідомі ми включили в набір.

  • припустимо ми включили в набір невідомі і , тоді загальне рішення буде виглядати так:
  • 4. Знаходимо частинне рішення. Для цього прирівнюємо вільні змінні, які ми не включили в набір прирівняти до довільних чисел.

  • Нехай , , , тоді із загального розв'язку знаходимо:
  • Відповідь: приватне рішення (один з варіантів)

    5. Знаходимо базисне рішення. Для цього прирівнюємо вільні змінні, які ми не включили в набір до нуля.

  • , то із загального розв'язку отримуємо , і базисне рішення:
  • Елементарні перетворення лінійних рівнянь

    Системи лінійних рівнянь приводяться до рівносильним дозволеним систем за допомогою елементарних перетворень.

    Теорема (2)

    Якщо будь-яке рівняння системи помножити на деякий відмінне від нуля число, а решта рівняння залишити без зміни, то вийде система, равносильная даної. (тобто якщо помножити ліву і праву частину рівняння на одне і те ж число, то вийде рівняння, рівносильне даному)

    Теорема (3)

    Якщо до якогось рівняння системи додати інше, а всі інші рівняння залишити без зміни, то вийде система, равносильная даної. (тобто якщо скласти два рівняння (склавши їх ліві і праві частини) то вийде рівняння, рівносильне даними)

    Наслідок з Теореми (2 і 3)

    Якщо до якого-небудь рівняння додати інше, помножене на деяке число, а всі інші рівняння залишити без зміни, то вийде система, равносильная даної.

    Формули перерахунку коефіцієнтів системи

    Якщо у нас є система рівнянь і ми хочемо перетворити її в дозволену систему рівнянь в цьому нам допоможе метод Жордана-Гауса.

    Перетворення Жордана з дозволеним елементом дозволяє отримати для системи рівнянь дозволену невідому в рівнянні з номером . (приклад 2).

    Перетворення Жордана складається з елементарних перетворень двох типів:
  • Рівняння з дозволеним елементом ділиться на цей елемент (множиться на )
  • Рівняння з дозволеним елементом множиться на відповідні множники і додається до всім іншим рівнянням для того, щоб виключити невідому .
  • Припустимо ми хочемо зробити невідому в нижньому рівнянні дозволеної невідомою. Для цього ми повинні розділити на , так щоб сума .

    Приклад 2 Перерахуємо коефіцієнти системи

    При поділі рівняння з номером на , його коефіцієнти обчислюються за формулами:

    Щоб виключити з рівняння з номером , потрібно рівняння з номером помножити на і додати до цього рівняння.

    Теорема (4) Про скорочення кількості рівнянь системи.

    Якщо система рівнянь містить тривіальне рівняння, то його можна виключити із системи, при цьому вийде система равносильная вихідної.

    Теорема (5) Про несумісність системи рівнянь.

    Якщо система рівнянь містить суперечливе рівняння, то вона несовместна.

    Алгоритм методу Жордана-Гауса

    Алгоритм розв'язання систем рівнянь методом Жордана-Гауса складається з ряду однотипних кроків, на кожному з яких виробляються дії в наступному порядку:

  • Перевіряється, чи не є система несовместной. Якщо система містить суперечливе рівняння, то вона несовместна.
  • Перевіряється можливість скорочення числа рівнянь. Якщо в системі міститься тривіальне рівняння, його викреслюють.
  • Якщо система рівнянь є дозволеною, то записують загальне рішення системи і якщо необхідно — приватні рішення.
  • Якщо система не є дозволеною, то в рівнянні, що не містить дозволеної невідомою, вибирають дозволяє елемент і виробляють перетворення Жордана з цим елементом.
  • Далі заново переходять до пункту 1
  • Приклад 3 Розв'язати систему рівнянь методом Жордана-Гауса.

    Знайти: два загальних і два відповідних базисних рішення

    Рішення:

    Обчислення наведені в нижченаведеній таблиці:

    Праворуч від таблиці зображені дії над рівняннями. Стрілками показано до якогось рівняння додається рівняння з дозволеним елементом, помножене на відповідний множник.

    У перших трьох рядках таблиці поміщені коефіцієнти при невідомих і праві частини вихідної системи. Результати першого перетворення Жордана з дозволеним елементом рівним одиниці наведені в рядках 4, 5, 6. Результати другого перетворення Жордана з дозволеним елементом рівним (-1) наведені у рядках 7, 8, 9. Так як третє рівняння є тривіальним, то його можна не враховувати.

    Равносильная система з дозволеними невідомими і має вигляд:

    Тепер можемо записати Загальний розв'язок:

    Прирівнюємо вільні змінні і нулю, отримуємо: .

    Базисне рішення:

    Для того щоб знайти друге загальне і відповідне йому базисне рішення, отриманої дозволеної системі в якому-небудь відношенні необхідно вибрати який-небудь інший дозволяє елемент. (справа в тому, що лінійне рівняння може містити декілька загальних і базисних рішень). Якщо дозволена система рівнянь, равносильная вихідній системі містить невідомих і рівнянь, кількість загальних і відповідних базисних рішень вихідної системи дорівнює числу сполучень і . Кількість поєднань можна обчислити за формулою:

    У нашому випадку обрано дозволяє елемент (-1) у першому рівнянні при (рядок 7). Далі виробляємо перетворення Жордана. Отримуємо нову дозволену систему (рядки 10,11) з новими дозволеними невідомими і :

    Записуємо друге спільне рішення:

    І відповідне йому базисне рішення:

    Відповіді:

    Загальне рішення:

    Базисне рішення:

    Загальне рішення:

    Базисне рішення:

    Copyright © industrialnet.com.ua. 2016 • All rights reserved.