Industrialnet Головна Про сайт webcache.site checkip.site takescreenshot.site
  • Строрінки

  • Показники варіації

    Загальна теорія статистики

  • Предмет статистики і загальна теорія статистики
  • Основні методи і завдання статистики. Методологія статистики
  • Економічні індекси та індексний метод. Загальні та індивідуальні індекси в статистиці
  • Показники варіації. Дисперсія проста і зважена
  • Індекс цін Пааше і Ласпейреса
  • Зміст
  • Показники варіації
  • Розмах варіації (R)
  • Середнє лінійне і квадратичне відхилення
  • Дисперсія
  • Відносні показники варіації
  • Правило складання дисперсій
  • Характеристики форми розподілу
  • Показники варіації

    Варіація — це відмінності індивідуальних значень ознаки у одиниць досліджуваної сукупності. Дослідження варіації має велике практичне значення і є необхідною ланкою в економічному аналізі. Необхідність вивчення варіації пов'язана з тим, що середня, будучи рівнодіючої, виконує свою основну задачу з різним ступенем точності: чим менше розходження індивідуальних значень ознаки, що підлягають осреднению, тим однорідніше сукупність, а, отже, точніше і надійніше середня, і навпаки. Отже по мірі варіації можна судити про межі варіації ознаки, однорідності сукупності за цією ознакою, типовості середньої, взаємозв'язку факторів, що визначають варіацію.

    Зміна варіації ознаки в сукупності здійснюється з допомогою абсолютних і відносних показників.

    Абсолютні показники варіації включають:
  • розмах варіації
  • середнє лінійне відхилення
  • дисперсію
  • середнє квадратичне відхилення
  • Розмах варіації (R)

    Розмах варіації — це різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки

    Він показує межі, в яких змінюється величина ознаки в досліджуваної сукупності.

    Приклад

    Досвід роботи у п'яти претендентів на попередній роботі складає: 2,3,4,7 і 9 років.
    Рішення: розмах варіації = 9 — 2 = 7 років.

    Для узагальненої характеристики відмінностей у значеннях ознаки обчислюють середні показники варіації, засновані на обліку відхилень від середньої арифметичної. За відхилення від середньої приймається різниця .

    При цьому для уникнення перетворення в нуль суми відхилень варіантів ознаки від середньої (нульове властивість середньої) доводиться або не враховувати знаки відхилення, тобто брати цю суму по модулю , або зводити значення відхилень у квадрат

    Середнє лінійне і квадратичне відхилення

    Середнє лінійне відхилення — це середня арифметична з абсолютних відхилень окремих значень ознаки від середньої.

    Середнє лінійне відхилення просте:

    Досвід роботи у п'яти претендентів на попередній роботі складає: 2,3,4,7 і 9 років.

    У нашому прикладі: років;

    Відповідь: 2,4 року.

    Середнє лінійне відхилення зважене застосовується для згрупованих даних:

    Середнє лінійне відхилення в силу його умовності застосовується на практиці порівняно рідко (зокрема, для характеристики виконання договірних зобов'язань по рівномірності постачання; в аналізі якості продукції з урахуванням технологічних особливостей виробництва).

    Середнє квадратичне відхилення

    Найбільш досконалою характеристикою варіації є середнє квадратичне откложение, яке називають стандартом (або стандартного відхилення). Середнє квадратичне відхилення () дорівнює квадратному кореню із середнього квадрата відхилень окремих значень ознаки від середньої арифметичної:

    Середнє квадратичне відхилення просте:

    Середнє квадратичне відхилення зважене застосовується для згрупованих даних:

    Між середнім квадратическим і середнім лінійним відхиленням в умовах нормального розподілу має місце наступне співвідношення: ~ 1,25.

    Середнє квадратичне відхилення, будучи основною абсолютною мірою варіації, використовується при визначенні значень ординат кривої нормального розподілу, у розрахунках, пов'язаних з організацією вибіркового спостереження та встановленням точності вибіркових характеристик, а також при оцінці меж варіації ознаки в однорідній сукупності.

    Дисперсія

    Дисперсія - це середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини.

    Дисперсія проста:

    У нашому прикладі:

    Зважена дисперсія:

    Більш зручно обчислювати дисперсію за формулою:

    яка виходить з основної шляхом нескладних перетворень. В цьому випадку середній квадрат відхилень дорівнює середній з квадратів значень ознаки мінус квадрат середньої.

    Для несгрупиированных даних:

    Для згрупованих даних:

    Варіація альтернативної ознаки полягає в наявності або відсутності досліджуваного властивості у одиниць сукупності. Кількісно варіація альтернативної ознаки виражається двома значеннями: наявність у одиниці досліджуваної властивості позначається одиницею (1), а його відсутність — нуль (0). Частку одиниць, які мають досліджуваним ознакою, позначають буквою , а частку одиниць, не володіють цією ознакою — через . Враховуючи, що p + q = 1 (звідси q = 1 — p), а середнє значення альтернативної ознаки одно

    ,

    середній квадрат відхилень

    Таким чином, дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, що володіють даними властивістю (), на частку одиниць, даними властивістю не володіють ().

    Максимальне значення середній квадрат відхилення (дисперсія) приймає у разі рівності часток, тобто коли т. е. . Нижня межа цього показника дорівнює нулю, що відповідає ситуації, при якій в сукупності відсутня варіація. Середнє квадратичне відхилення альтернативного ознаки:

    Так, якщо у виготовленої партії 3% виробів виявилися нестандартними, то дисперсія частки нестандартних виробів , а середнє квадратичне відхилення або 17,1%.

    Середнє квадратичне відхилення дорівнює квадратному кореню із середнього квадрата відхилень окремих значень ознаки від середньої арифметичної.

    Відносні показники варіації Відносні показники варіації включають:
  • Коефіцієнт осциляції
  • Відносне лінійне відхилення (лінійний коефіцієнт варианции)
  • Коефіцієнт варіації (відносне відхилення)
  • Порівняння варіації кількох сукупностей за однією і тією ж ознакою, а тим більше за різними ознаками з допомогою абсолютних показників не представляється можливим. У цих випадках для порівняльної оцінки ступеня відмінності будують відносні показники варіації. Вони обчислюються як відношення абсолютних показників варіації до середньої:

    Коефіцієнт осциляції Відносне лінійне відхилення Коефіцієнт варіації

    Розраховуються та інші відносні характеристики. Наприклад, для оцінки варіації у випадку асиметричного розподілу обчислюють відношення середнього лінійного відхилення до медіан

    ,

    так як завдяки властивості медіани сума абсолютних відхилень ознаки від її величини завжди менше, ніж від будь-якої іншої.

    В якості відносної міри розсіювання, оцінює варіацію центральної частини сукупності, обчислюють відносний квартильное відхилення , де — середній квартиль полусуммы різниці третього (або верхнього) квартиля () і першого (або нижнього) квартиля ().

    .

    На практиці найчастіше обчислюють коефіцієнт варіації. Нижньою межею цього показника є нуль, верхньої межі вона не має, однак відомо, що із збільшенням варіації ознаки збільшується і його значення. Коефіцієнт варіації є у відомому сенсі критерієм однорідності сукупності (у разі нормального розподілу).

    Розрахуємо коефіцієнт варіації на основі середнього квадратичного відхилення для наступного прикладу. Витрата сировини на одиницю продукції склав (кг): по одній технології при , а з іншого — при. Безпосереднє порівняння величини середніх квадратичних відхилень могло б призвести до неправильного уявленню про те, що варіація витрат сировини по першій технології інтенсивніше, ніж за другий. Відносна міра варіації ( дозволяє зробити протилежний висновок

    Приклад розрахунку показників варіації

    На етапі відбору кандидатів для участі у здійсненні складного проекту фірма объявлила конкурс професіоналів. Розподіл претендентів з досвіду роботи показало средующие результати:

    Обчислимо середній виробничий досвід роботи, років

    Розрахуємо дисперсію по тривалості досвіду роботи

    Такий же результат виходить, якщо використовувати для розрахунку іншу формулу розрахунку дисперсії

    Обчислимо середнє квадратичне відхилення, років:

    Визначимо коефіцієнт варіації, %:

    Правило складання дисперсій

    Для оцінки впливу факторів, що визначають варіацію, використовують прийом угруповання: сукупність розбивають на групи, вибравши в якості группировочного ознаки один з визначальних факторів. Тоді поряд із загальною дисперсією, розрахованої по всій сукупності, обчислюють внутигрупповую дисперсію (або середню з групових) і міжгрупову дисперсію (або дисперсію групових середніх).

    Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки у всій сукупності, що склалася під впливом всіх факторів і умов.

    Міжгрупова дисперсія вимірює систематичну варіацію, зумовлену впливом фактора, за якою проведена угруповання:

  • — групові середні,
  • — чисельність одиниць i-ї групи
  • Внутрішньогрупове дисперсія оцінює варіацію ознаки, яка склалася впливом інших, невраховуваних в даному дослідженні факторів і незалежну від фактора угруповання. Вона визначається як середня з групових дисперсій.

  • — дисперсія i-ої групи.
  • Всі три дисперсії () пов'язані між собою таким рівнянням, яке відоме як правило складання дисперсій:

    на цьому співвідношенні будуються показники, що оцінюють вплив ознаки угруповання на освіту загальної варіації. До них відносяться емпіричний коефіцієнт детермінації () і емпіричне кореляційне відношення ()

    Емпіричний коефіцієнт детермінації () характеризує частку межгрупоовой дисперсії в загальній дисперсії:

    і показує наскільки варіація ознаки в сукупності зумовлена фактором угруповання.

    Емпіричне кореляційне відношення (!!\eta = \sqrt{ \frac{\delta^2}{\sigma^2} }

    оцінює тісноту зв'язку між досліджуваним і группировочным ознаками. Граничними значеннями є нуль і одиниця. Чим ближче до одиниці, тим тісніше зв'язок.

    Приклад. Вартість 1 кв. м загальної площі (усл.од) на ринку житла десяти 17-му будинках поліпшеного планування становила:

    При цьому відомо, що перші п'ять будинків були побудовані поблизу ділового центру, а решта — на значній відстані від нього.

    Для розрахунку загальної дисперсії обчислимо середню вартість 1 кв. м. загальної площі: Загальну дисперсію визначимо за формулою:

    .

    Обчислимо середню вартість 1 кв. м. і дисперсію за цим показником для кожної групи будинків, що відрізняються місцем розташування щодо центру міста:

    а) для будинків, побудованих поблизу центру:

    б) для будинків, побудованих далеко від центру:

    Варіація вартості 1 кв. м. загальної площі, викликана зміною місцезнаходження будинків, визначається величиною міжгрупової дисперсії:

    Варіація вартості 1 кв. м. загальної площі, обумовлена зміною інших невраховуваних нами показників, вимірюється величиною внутрішньогрупової дисперсії

    Знайдені дисперссии в сумі дають величину загальної дисперсії

    Емпіричний коефіцієнт детермінації:

    показує, що дисперсія вартості 1.кв.м. загальної площі на ринку житла на 81,8% пояснюється відмінностями в розташуванні новобудов по відношенню до ділового центру і на 18,2% — іншими факторами.

    Эмприческое кореляційне відношення свідчить про суттєвий вплив на вартість житла розташування будинків.

    Правило складання дисперсій для частки ознаки записується так:

    а три види дисперсій частки для згрупованих даних визначається за такими формулами:

    загальна дисперсія:

    Формули груповий і внутрішньогруповий дисперсій:

    Характеристики форми розподілу

    Для отримання уявлення про форму розподілу використовуються показники середнього рівня (середня арифметична, мода, медіана), показники варіації, асиметрії та ексцесу.

    У симетричних розподілах середня арифметична, мода і медіана збігаються (. Якщо ця рівність порушується — розподіл асиметрично.

    Найпростішим показником асиметрії є різниця , яка в разі правобічної асиметрії позитивна, а при лівосторонньої — негативна.

    Асиметричне розподіл

    Для порівняння асиметрії декількох рядів обчислюється відносний показник

    В якості узагальнюючих характеристик варіації використовуються центральні моменти розподілу -го порядку , відповідні міри, до якої зводяться відхилення окремих значень ознаки від середньої арифметичної:

    Для несгруппированных даних:

    Для згрупованих даних:

    Момент першого порядку згідно властивості середньої арифметичної дорівнює нулю .

    Момент другого порядку є дисперсією .

    Моменти третього та четвертого порядків використовуються для побудови показників, що оцінюють особливості форми емпіричних розподілів.

    З допомогою моменту третього порядку вимірюють ступінь скошеності або ассиметричности розподілу.

    — коефіцієнт асиметрії

    У симетричних розподілах , як всі центральні моменти непарного порядку.Нерівність нулю центрального моменту третього порядку вказує на асиметричність розподілу. При цьому, якщо , то асиметрія правостороння і щодо максимальної ординати витягнута права гілка; якщо , то асиметрія лівостороння (на графіку це відповідає витягнутості лівої гілки).

    Для характеристики островершинности або плосковершинности розподілу обчислюють відношення моменту четвертого порядку () до середньоквадратичного відхилення в четвертому ступені (). Для нормального розподілу , тому ексцес знаходять за формулою:

    Для нормального розподілу звертається в нуль. Для островершинных розподілів , для плосковершинных .

    Ексцес розподілу

    Крім показників, розглянутих вище, узагальнюючою характеристикою варіації в однорідної сукупності служить певний порядок у зміні частот розподілу у відповідності з змінами величини досліджуваного ознаки, званий закономірністю розподілу.

    Характер (тип) закономірності розподілу може бути виявлений шляхом побудови варіаційного ряду на підставі великого обсягу спостережень, а також такого вибору кількості груп і величини інтегралів, при якому найбільш виразно могла б проявитися закономірність.

    Аналіз варіаційних рядів передбачає виявлення характеру розподілу (як результату дії механізму варіації), встановлення функції розподілу, перевірку відповідності емпіричного розподілу теоретичному.

    Емпіричне розподіл, отримане на основі даних спостереження, графічно зображується емпіричної кривої розподілу з допомогою полігону.

    На практиці зустрічаються різні типи розподілів, серед яких можна виділити симетричні і асиметричні, одновершинные і многовершинные.

    Встановити тип розподілу, означає висловити механізм формування закономірності в аналітичній формі. Багатьом явищам та їх ознаками властиві характерні форми розподілу, які апроксимуються відповідними кривими. При всьому різноманітті форм розподілу найбільше поширення в якості теоретичних отримали нормальний розподіл, розподіл Пауссона, біномного розподілу та ін.

    Особливе місце у вивченні варіації належить нормальному закону, завдяки його математичним властивостям. Для нормального закону виконується правило трьох сигм, за яким варіація індивідуальних значень ознаки знаходиться в межах від середньої величини. При цьому в межах знаходиться близько 70% всіх одиниць, а в межах — 95%.

    Оцінка відповідності емпіричного і теоретичного розподілів здійснюється з допомогою критеріїв згоди, серед яких широко відомі критерії Пірсона, Романовського, Ястремського, Колмогорова.

    ?

    Copyright © industrialnet.com.ua. 2016 • All rights reserved.