Industrialnet Головна Про сайт webcache.site checkip.site takescreenshot.site
  • Строрінки

  • Метод найменших квадратів

    Економетрика

  • Економетрична модель
  • Метод найменших квадратів
  • Регресія
  • Лекції з Вищої математики
  • Симплексний метод розв'язання задач лінійного програмування
  • Зміст
  • Класична регресійна модель і метод найменших квадратів
  • Приклади розв'язання задач методом найменших квадратів
  • Класична регресійна модель і метод найменших квадратів

    Метод найменших квадратів є одним з найбільш поширених і найбільш розроблених внаслідок своєї простоти й ефективності методів оцінювання параметрів лінійних економетричних моделей. Разом з тим, при його застосуванні слід дотримуватися певної обережності, оскільки побудовані з його використанням моделі можуть не задовольняти цілому ряду вимог до якості їх параметрів і, внаслідок цього, недостатньо "добре" відображати закономірності розвитку процесу .

    Розглянемо процедуру оцінки параметрів лінійної економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів більш докладно. Така модель в загальному вигляді може бути представлена рівнянням (1.2):

    yt = a0 + a1 х1t +...+ an хnt + ?t .

    Вихідними даними при оцінці параметрів a0 , a1 ,..., an є вектор значень залежної змінної y = (y1 , y2 , ... , yT )' і матриця значень незалежних змінних

    в якій перший стовпець, що складається з одиниць, що відповідає коефіцієнту моделі .

    Свою назву метод найменших квадратів отримав, виходячи з основного принципу, яким повинні задовольняти отримані на його основі оцінки параметрів: сума квадратів помилки моделі повинна бути мінімальною.

    Приклади розв'язання задач методом найменших квадратів

    Приклад 2.1. Торговельне підприємство має мережу з 12 магазинів, інформація про діяльність яких представлена в табл. 2.1.

    Керівництво підприємства хотіло б знати, як залежить розмір річного товарообігу від торгової площі магазина.

    Таблиця 2.1

    Номер магазину

    Річний товарообіг, млн руб.

    Торгова площа, тис. м2

    1

    19,76

    0,24

    2

    38,09

    0,31

    3

    40,95

    0,55

    4

    41,08

    0,48

    5

    56,29

    0,78

    6

    68,51

    0,98

    7

    75,01

    0,94

    8

    89,05

    1,21

    9

    91,13

    1,29

    10

    91,26

    1,12

    11

    99,84

    1,29

    12

    108,55

    1,49

    Рішення методом найменших квадратів. Позначимо — річний товарооборот -го магазину, млн руб.; — торгова площа -го магазину, тис. м2.

    Рис.2.1. Діаграма розсіювання для прикладу 2.1

    Для визначення форми функціональної залежності між змінними і побудуємо діаграму розсіювання (рис. 2.1).

    На підставі діаграми розсіювання можна зробити висновок про позитивну залежності річного товарообігу від торгової площі (тобто у зростатиме зі зростанням ). Найбільш підходяща форма функціональної зв'язку — лінійна.

    Інформація для проведення подальших розрахунків представлено в табл. 2.2. З допомогою методу найменших квадратів оцінимо параметри лінійної однофакторної економетричної моделі

    Таблиця 2.2

    t

    yt

    x1t

    yt2

    x1t 2

    x1t yt

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1

    19,76

    0,24

    390,4576

    0,0576

    4,7424

    2

    38,09

    0,31

    1450,8481

    0,0961

    11,8079

    3

    40,95

    0,55

    1676,9025

    0,3025

    22,5225

    4

    41,08

    0,48

    1687,5664

    0,2304

    19,7184

    5

    56,29

    0,78

    3168,5641

    0,6084

    43,9062

    6

    68,51

    0,98

    4693,6201

    0,9604

    67,1398

    7

    75,01

    0,94

    5626,5001

    0,8836

    70,5094

    8

    89,05

    1,21

    7929,9025

    1,4641

    107,7505

    9

    91,13

    1,29

    8304,6769

    1,6641

    117,5577

    10

    91,26

    1,12

    8328,3876

    1,2544

    102,2112

    11

    99,84

    1,29

    9968,0256

    1,6641

    128,7936

    12

    108,55

    1,49

    11783,1025

    2,2201

    161,7395

    S

    819,52

    10,68

    65008,554

    11,4058

    858,3991

    Середнє

    68,29

    0,89

    Таким чином,

    Отже, при збільшенні торгової площі на 1 тис. м2 при інших рівних умовах середньорічний товарообіг збільшується на 67,8871 млн руб.

    Приклад 2.2. Керівництво підприємства помітило, що річний товарообіг залежить не тільки від торгової площі магазина (див. приклад 2.1), але і від середньої кількості відвідувачів. Відповідна інформація представлена у табл. 2.3.

    Таблиця 2.3

    Номер магазину

    Середня кількість відвідувачів
    в день, тис. чол.

    1

    8,25

    2

    10,24

    3

    9,31

    4

    11,01

    5

    8,54

    6

    7,51

    7

    12,36

    8

    10,81

    9

    9,89

    10

    13,72

    11

    12,27

    12

    13,92

    Рішення. Позначимо — середнє число відвідувачів -го магазину в день, тис. чол.

    Для визначення форми функціональної залежності між змінними і побудуємо діаграму розсіювання (рис. 2.2).

    На підставі діаграми розсіювання можна зробити висновок про позитивну залежності річного товарообігу від середнього числа відвідувачів в день (тобто у зростатиме зі зростанням ). Форма функціональної залежності — лінійна.

    Рис. 2.2. Діаграма розсіювання для прикладу 2.2

    Таблиця 2.4

    t

    x2t

    x2t 2

    yt x2t

    x1t x2t

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    8,25

    68,0625

    163,02

    1,98

    2

    10,24

    104,8575

    390,0416

    3,1744

    3

    9,31

    86,6761

    381,2445

    5,1205

    4

    11,01

    121,2201

    452,2908

    5,2848

    5

    8,54

    72,9316

    480,7166

    6,6612

    6

    7,51

    56,4001

    514,5101

    7,3598

    7

    12,36

    152,7696

    927,1236

    11,6184

    8

    10,81

    116,8561

    962,6305

    13,0801

    9

    9,89

    97,8121

    901,2757

    12,7581

    10

    13,72

    188,2384

    1252,0872

    15,3664

    11

    12,27

    150,5529

    1225,0368

    15,8283

    12

    13,92

    193,7664

    1511,016

    20,7408

    S

    127,83

    1410,44

    9160,9934

    118,9728

    Середнє

    10,65

    В цілому необхідно визначити параметри двофакторної економетричної моделі

    уt = a0 + a1 х1t + a2 х2t + ?t

    Інформація, яка потрібна для подальших розрахунків, представлена в табл. 2.4.

    Оцінимо параметри лінійної двофакторної економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів.

    Таким чином,

    Оцінка коефіцієнта =61,6583 показує, що при інших рівних умовах зі збільшенням торгової площі на 1 тис. м2 річний товарообіг збільшиться в середньому на 61,6583 млн руб.

    Оцінка коефіцієнта = 2,2748 показує, що при інших рівних умовах зі збільшенням середньої кількості відвідувачів на 1 тис. чол. в день річний товарообіг збільшиться в середньому на 2,2748 млн руб.

    Приклад 2.3. Використовуючи інформацію, представлену в табл. 2.2 та 2.4, оцінити параметр однофакторна економетричної моделі

    де — центрированное значення річного товарообігу -го магазину, млн руб.; — центрированное значення середньоденного числа відвідувачів t-го магазину, тис. чол. (див. приклади 2.1-2.2).

    Рішення. Додаткова інформація, необхідна для розрахунків, представлена в табл. 2.5.

    Таблиця 2.5

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    -48,53

    -2,40

    5,7720

    116,6013

    2

    -30,20

    -0,41

    0,1702

    12,4589

    3

    -27,34

    -1,34

    1,8023

    36,7084

    4

    -27,21

    0,36

    0,1278

    -9,7288

    5

    -12,00

    -2,11

    4,4627

    25,3570

    6

    0,22

    -3,14

    9,8753

    -0,6809

    7

    6,72

    1,71

    2,9156

    11,4687

    8

    20,76

    0,16

    0,0348

    3,2992

    9

    22,84

    -0,76

    0,5814

    -17,413

    10

    22,97

    3,07

    9,4096

    70,4503

    11

    31,55

    1,62

    2,6163

    51,0267

    12

    40,26

    3,27

    10,6766

    131,5387

    Сума

    48,4344

    431,0566

    Використовуючи формулу (2.35), отримаємо

    Таким чином,

    Copyright © industrialnet.com.ua. 2016 • All rights reserved.