Industrialnet Головна Про сайт webcache.site checkip.site takescreenshot.site
  • Строрінки

  • Лінійна залежність векторів. Базис системи векторів

    Основи лінійної алгебри

  • N-вимірні матриці. Множення і додавання N-вимірних матриць
  • Рішення систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса
  • N-мірні вектори, їх характеристика і приклади множення
  • Система лінійних рівнянь та її види. Матрична форма запису системи лінійних рівнянь
  • Лінійна залежність векторів. Базис системи векторів
  • Зворотна матриця. Рішення матричних рівнянь. Алгоритм знаходження оберненої матриці
  • Визначник матриці. Метод Крамера
  • Лекції з Вищої математики
  • Симплексний метод розв'язання задач лінійного програмування
  • Ймовірність події
  • Транспортна задача. Опорне рішення [2 ч.]
  • Транспортна задача. Математична модель [1 ч.]
  • Зміст
  • Лінійна залежність векторів
  • Властивості систем векторів
  • Базис системи векторів
  • Лінійна залежність векторів

    Вираз вигляду?1*A1+?2*A2+...+?n*An називається лінійною комбінацією векторів A1, A2,...,An з коефіцієнтами ?1, ?2,...,?n.

    Визначення лінійної залежності системи векторів

    Система векторів A1, A2,...,An називається лінійно залежної, якщо існує ненульовий набір чисел ?1, ?2,...,?n, при якому лінійна комбінація векторів ?1*A1+?2*A2+...+?n*An дорівнює нульовому вектору, тобто система рівнянь: A1x1+A2x2+...+Anxn =? має ненульове рішення.
    Набір чисел ?1, ?2,...,?n є ненульовим, якщо хоча б одне з чисел ?1, ?2,...,?n відмінно від нуля.

    Визначення лінійної незалежності системи векторів

    Система векторів A1, A2,...,An називається лінійно незалежної, якщо лінійна комбінація цих векторів ?1*A1+?2*A2+...+?n*An дорівнює нульовому вектору тільки при нульовому наборі чисел ?1, ?2,...,?n, тобто система рівнянь: A1x1+A2x2+...+Anxn =? має єдиний нульовий розв'язок.

    Приклад 29.1

    Перевірити, чи є лінійно залежною система векторів

    Рішення:

    1. Складаємо систему рівнянь:

    2. Вирішуємо її методом Гауса. Перетворення Жордано системи наведені в таблиці 29.1. При розрахунку праві частини системи не записуються так як вони дорівнюють нулю і при перетвореннях Жордана не змінюються.

    3. З останніх трьох рядків таблиці записуємо дозволену систему, рівносильну початковій системі:

    4. Отримуємо загальний розв'язок системи:

    5. Задавши на свій розсуд значення вільної змінної x3 =1, отримуємо приватне ненульове рішення X=(-3,2,1).

    Відповідь: Таким чином, при ненульовому наборі чисел (-3,2,1) лінійна комбінація векторів дорівнює нульовому вектору-3A1+2A2+1A3=?. Отже, система векторів лінійно залежна.

    Властивості систем векторів

    Властивість (1)
    Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один з векторів розкладається за іншим і, навпаки, якщо хоча б один з векторів системи розкладається за іншим, то система векторів лінійно залежна.

    Властивість (2)
    Якщо яка-небудь підсистема векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

    Властивість (3)
    Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її підсистема лінійно незалежна.

    Властивість (4)
    Будь-яка система векторів, що містить нульовий вектор, лінійно залежна.

    Властивість (5)
    Система m-вимірних векторів є лінійно залежною, якщо число векторів n більше їх розмірності (n>m)

    Базис системи векторів

    Базисом системи векторів A1 , A2 ,..., An називається така підсистема B1, B2 ,...,Br (кожен з векторів B1,B2,...,Br є одним з векторів A1 , A2 ,..., An), що задовольняє наступним умовам:
    1. B1,B2,...,Br лінійно незалежна система векторів;
    2. будь-який вектор Aj системи A1 , A2 ,..., An лінійно виражається через вектори B1,B2,...,Br

    r — кількість векторів, що входять в базис.

    Теорема 29.1 Про одиничний базис системи векторів.

    Якщо система m-вимірних векторів містить m різних одиничних векторів E1 E2 ,..., Em , то вони утворюють базис системи.

    Алгоритм знаходження базису системи векторів

    Для того, щоб знайти базис системи векторів A1 ,A2 ,...,An необхідно:

  • Скласти відповідну систему векторів однорідну систему рівнянь A1x1+A2x2+...+Anxn =?
  • Привести цю систему
  • Copyright © industrialnet.com.ua. 2016 • All rights reserved.