Industrialnet Головна Про сайт webcache.site checkip.site takescreenshot.site
  • Строрінки

  • Квадратне рівняння

    Алгебра

  • Формули скороченого множення
  • Геометрична прогресія
  • Коріння і ступеня. Властивості коренів n-го степеня. Таблиця коренів
  • Арифметична прогресія. Формула суми арифметичної прогресії
  • Модуль числа, його визначення та геометричний зміст. Рішення рівнянь і нерівностей, що містять модуль числа
  • Логарифма та його властивості. Приклади рішення логарифмів
  • Квадратне рівняння і рішення повних і неповних квадратних управнений
  • Биквадратное рівняння та методи і приклади рішення
  • Лекції з Вищої математики
  • Симплексний метод розв'язання задач лінійного програмування
  • Ймовірність події
  • Транспортна задача. Опорне рішення [2 ч.]
  • Транспортна задача. Математична модель [1 ч.]
  • Рішення систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса
  • Зміст
  • Визначення квадратного рівняння
  • Рішення неповних квадратних рівнянь
  • Рішення повного квадратного рівняння
  • Визначення квадратного рівняння

    Квадратне рівняння — рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де a, b, c — деякі числа (a ? 0), x — невідоме.

    Числа називаються коефіцієнтами квадратного рівняння.

  • називається першим коефіцієнтом;
  • називається другим коефіцієнтом;
  • — вільним членом.
  • Наведене квадратне рівняння — рівняння виду , перший коефіцієнт якої дорівнює одиниці ().

    Якщо у квадратному рівнянні коефіцієнти і не дорівнюють нулю, то рівняння називається повним квадратним рівнянням. Наприклад, рівняння . Якщо один з коефіцієнтів або дорівнює нулю, або обидва коефіцієнта дорівнюють нулю, то квадратне рівняння називається неповним. Наприклад, .

    Значення невідомого , при якому квадратне рівняння звертається у вірну числову рівність, називається коренем цього рівняння. Наприклад, значення є коренем квадратного рівняння , тому що або — це правильне числове рівність.

    Вирішити квадратне рівняння — це значить знайти безліч його коренів.

    Рішення неповних квадратних рівнянь ax2 + bx = 0, a?0, b?0

    Нехай неповне квадратне рівняння має вигляд , де a ? 0, b? 0. В лівій частині цього рівняння є загальний множник .

    1. Винесемо спільний множник за дужки.

    Ми отримаємо . Твір одно нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тож маємо або . Таким чином, дане рівняння еквівалентне двом рівнянням:

    2. Вирішуємо отриману систему рівнянь.

    Вирішивши цю систему, ми отримаємо і . Отже, це квадратне рівняння має два кореня і .

    Приклад 1.

    Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо корені:

    Відповідь: 0; 4.

    ax2 + c = 0, a?0, с?0

    Для вирішення даного неповного квадратного рівняння виразимо .

    При вирішенні останнього рівняння можливі два випадки:

    якщо , то отримуємо два кореня:

    якщо , то рівняння на множині дійсних числі не має рішень.

    Приклад 2.

    Таким чином, це квадратне рівняння має два кореня і

    ax2 = 0, a?0

    Розділимо обидві частини рівняння на , отримаємо , . Таким чином, це квадратне рівняння має один корінь . У цьому випадку говорять, що квадратне рівняння має двократний корінь .

    Рішення повного квадратного рівняння

    Знайдемо рішення повного квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0.

    Рішення з допомогою дискримінанта

    Дискриминантом квадратного рівняння називається вираз b2 — 4ac.

    При вирішенні рівняння з допомогою дискримінанта можливі три випадки:

    1. D > 0. Тоді корені рівняння рівні:

    2. D = 0. В даному випадку рішення дає два дворазових кореня:

    3. D < 0. В цьому випадку рівняння не має рішення.

    Теорема Вієта

    Теорема Вієта — сума коренів наведеного квадратного рівняння x2 + px + q = 0 дорівнює p, а добуток коренів дорівнює q.

    Зворотна теорема — якщо сума двох чисел x1 і x2 дорівнює p, а добуток цих числі дорівнює q, то числа x1 і x2 є корінням наведеного квадратного рівняння x2 + px + q = 0.

    Розкладання квадратного тричлена на множники

    Квадратний тричлен — многочлен виду ax2 + bx + c = 0, де x — змінна, a,b,c — деякі числа.

    Значення змінної , які звертають квадратний тричлен в нуль, називаються коренями тричлена. Отже, корені тричлена — це корені квадратного рівняння .

    Теорема. Якщо квадратне рівняння має корені , то його можна записати у вигляді: x2 + bx + c = a (x — x1)(x — x2).

    Приклад 3.

    Розкладемо на множники квадратний тричлен:

    Спочатку розв'яжемо квадратне рівняння:

    Отримаємо: і

    Тепер можна записати розкладання даного квадратного тричлена на множники:

    Copyright © industrialnet.com.ua. 2016 • All rights reserved.