Industrialnet Головна Про сайт webcache.site checkip.site takescreenshot.site
  • Строрінки

  • Безліч

    Математичний аналіз

  • Безліч і операції над множинами
  • Числові послідовності та межа послідовності
  • Похідна функції. Правила диференціювання таблиця похідних
  • Зміст
  • Визначення множини
  • Операції над множинами
  • Властивості операцій над множинами
  • Лічильні та незліченні множини
  • Визначення множини

    Математичним аналізом називається розділ математики, що займається дослідженням функцій на основі ідеї нескінченно малої функції.

    Основними поняттями математичного аналізу є величина, множина, функція нескінченно мала функція, межа, похідна, інтеграл.

    Величиною називається все, що може бути виміряно і виражено числом.

    Безліччю називається сукупність деяких елементів, об'єднаних якимось загальним ознакою. Елементами множини можуть бути числа, фігури, предмети, поняття і т. п.

    Множини позначають великими буквами, а елементи безліч малими літерами. Елементи множин полягають у фігурні дужки.

    Якщо елемент x належить множині X, то записують x ? Х (? — належить).
    Якщо множина А є частиною множини, то записують А ? В (? — міститься).

    Множина може бути задано одним з двох способів: перерахуванням і з допомогою визначає властивості.

    Наприклад, перерахуванням задані наступні множини:
  • А={1,2,3,5,7} — множина чисел
  • Х={x1,x2,...,xn} — множина деяких елементів x1,x2,...,xn
  • N={1,2,...,n} — множина натуральних чисел
  • Z={0,±1,±2,...,±n} — множина цілих чисел
  • Множина (-?;+?) називається числовою прямою, а будь-яке число — точки цієї прямої. Нехай a — довільна точка числової прямої и? — позитивне число. Інтервал (a-?; a+?) називається ?-околицею точки а.

    Безліч Х обмежена зверху (знизу), якщо існує таке число c, що для будь-якого x ? X виконується нерівність x?(x?c). Число в цьому випадку називається верхньою(нижньою) межею множини Х. Безліч, обмежена і зверху, і знизу, називається обмеженим. Найменша (найбільша) з верхніх (нижніх) граней множини називається точною верхньою (нижньою) межею цього безлічі.

    Основні числові множини N {1,2,3,...,n} Множина всіх натуральних чисел Z {0, ±1, ±2, ±3,...} Безліч цілих чисел. Безліч цілих чисел включає в себе безліч натуральних. Q

    Безліч раціональних чисел.

    Крім цілих чисел є ще й дробу. Дріб — це вираз виду , де p — ціле число, q — натуральне. Десяткові дроби також можна записати у вигляді . Наприклад: 0,25 = 25/100 = 1/4. Цілі числа можна записати у вигляді . Наприклад, у вигляді дробу зі знаменником "один": 2 = 2/1.

    Таким чином будь-яке раціональне число можна записати десятковим дробом — звичайно або нескінченної періодичної.

    R

    Безліч всіх дійсних чисел.

    Ірраціональні числа — це нескінченні неперіодичні дроби. До них відносяться:

  • число — відношення довжини окружності до її діаметру;
  • число — назване на честь Ейлера та ін;
  • Разом дві множини (раціональних і ірраціональних чисел) — утворюють множину дійсних (чи дійсних) чисел.

    Якщо множина не містить жодного елемента, то воно називається порожньою множиною і записується O.

    Елементи логічної символіки > "слід", "виконується" - рівносильність затвердження : "такий, що"

    Запис ?x: |x|<2 > x2 < 4 означає: для кожного x такого, що |x|<2, виконується нерівність x2 < 4.

    Квантор

    При запису математичних виразів часто використовуються квантори.

    Квантором називається логічний символ, який характеризує наступні за ним елементи в кількісному відношенні.

  • ?- квантор спільності, використовується замість слів "для всіх", "для будь-якого".
  • ?- квантор існування, використовується замість слів "існує", "є". Використовується також поєднання символів ?!, яке читається як існує єдиний.
  • Операції над множинами

    Дві множини А і В дорівнюють (А=В), якщо вони складаються з одних і тих же елементів.
    Наприклад, якщо А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=Ст.

    Об'єднанням (сумою) множин А і В називається множина А ? В, елементи якої належать хоча б одній з цих множин.
    Наприклад, якщо А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, А ? B = {1,2,3,4,5,6}

    Перетином (твором) множин А і В називається множина А ? В, елементи якої належать як і множині А, так і безлічі Ст.
    Наприклад, якщо А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, А ? В = {2,4}

    Різницею множин А і В називається множина АВ, елементи якого належать множесву А, але не належать безлічі Ст.
    Наприклад, якщо А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

    Симетричною різницею множин А і В називається множина А ?, яка є об'єднанням різниць множин АВ і ВА, тобто А ? В = (АВ) ? (ВА).
    Наприклад, якщо А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, А ? В= {1,2} ? {5,6} = {1,2,5,6}

    Властивості операцій над множинами Властивості перестановочности

    A ? B = B ? A
    A ? B = B ? A

    Сочетательное властивість

    (A ? B) ? C = A ? (B ? C)
    (A ? B) ? C = A ? (B ? C)

    Лічильні та незліченні множини

    Для того, щоб порівняти два будь-яких множини А та В, між їх елементами встановлюють відповідність.

    Якщо це відповідність взаимооднозначное, то множини називаються еквівалентними або равномощными, А В А.

    Приклад 1

    Безліч точок катета ВС і гіпотенузи АС трикутника АВС є равномощными.

    Copyright © industrialnet.com.ua. 2016 • All rights reserved.